Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Đề bài Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Phương pháp giải - Xem chi tiết Ta sử dụng kiến thức: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Lời giải chi tiết  Đặt độ dài \(AB = a,\) \(BC = b,\) \( CD = c,\) \(AD = d\) Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) Trong \(OAB,\) ta có: \(OA + OB > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (1)\) Trong \(OCD\) ta có: \(OC + OD > c\) (bất đẳng thức tam giác)\( (2)\) Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(OA + OB + OC + OD > a + c\) Hay \(AC + BD > a + c \;\;(*)\) Trong \(OAD\) ta có: \(OA + OD > d\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\) Trong \(OBC\) ta có: \(OB + OC > b\) (bất đẳng thức tam giác) \((4)\) Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(OA + OD + OB + OC > b + d\) \( AC + BD > b + d \;\;(**)\) Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d\) \( AC + BD > \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\) Trong \(ABC\) ta có: \(AC < AB + BC = a + b\) (bất đẳng thức tam giác) Trong \(ADC\) ta có: \(AC < AD + DC = c + d\) (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: \(2AC < a + b + c + d\) \(AC < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\) \((5)\) Trong \(ABD\) ta có: \(BD < AB + AD = a + d\) (bất đẳng thức tam giác) Trong \(BCD\) ta có: \(BD < BC + CD = b + c\) (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: \(2BD < a + b + c + d\) \(BD < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\) \((6)\) Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AC + BD < a + b + c + d\) Vậy\(\displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)
|
