Video bài giảng khoảng cách lớp 11

Cho hình chóp $A.BCD$ có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và $M$ là trung điểm của $BD$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AM$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), $AA = 2a$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,$ tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC.$

Phương pháp giải

Dựng hình chiếu của \(C\) trên \(AM\).

Tính khoảng cách dựa vào hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Đáp án chi tiết:

Dựng $CH \bot AM \Rightarrow d\left( {C,AM} \right) = CH$ .

Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ và $M$ là trung điểm của $BD$ nên dễ tính được $CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta ACM$ vuông tại $C$ có $CH$ là đường cao, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{A^2}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{{11}}{{6{a^2}}}\\ \Rightarrow C{H^2} = \dfrac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow CH = a\sqrt {\dfrac{6}{{11}}} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: b

Phương pháp giải

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Đáp án chi tiết:

Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D$,

suy ra $BCID$ là hình bình hành nên $BD//CI$

Do đó \(d\left( {BD;CD} \right) = d\left( {BD;\left( {CDI} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {CDI} \right)} \right).\)

Kẻ \(DE \bot CI\) tại \(E\), kẻ $DK \bot DE\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CI \bot DE\\CI \bot DD\end{array} \right. \Rightarrow CI \bot \left( {DDE} \right) \Rightarrow CI \bot DK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK \bot \left( {CDI} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {D;\left( {CDI} \right)} \right) = DK.\)

Xét tam giác $IAC$, ta có $DE // AC$ (do cùng vuông góc với $CI$) và có $D$ là trung điểm của $AI$ nên suy ra $DE$ là đường trung bình của tam giác $ACI$. Suy ra \(DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.\)

Tam giác vuông $DDE$, có $DK = \dfrac{{DD.DE}}{{\sqrt {D'{D^2} + D{E^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$

Đáp án cần chọn là: c

Phương pháp giải

Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng còn lại.

Đáp án chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ khi đó $SH \bot BC$.

Mặt khác $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ do đó $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Ta có $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $AB = AC = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }};AH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHA} \right).$

Dựng $HK \bot SA$ khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Lại có $HK = \dfrac{{SH.AH}}{{\sqrt {S{H^2} + H{A^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$. Vậy $d\left( {SA;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.$

Đáp án cần chọn là: b