Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm Lớp 9

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1:Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2:Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3:Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng(–1;2).

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R.

Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0.

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trìnhđã cho cóít nhất một nghiệm thuộc khoảng(–1;2).

Ví dụ 2:Chứng minh rằng phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3+ x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1]⊂ R) (1)

Ta có: f(0) = 03+ 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3+ x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 3:Chứng minh 4x4+ 2x2- x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x4+ 2x2- x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)4+ 2.(-1)2- (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.14+ 2.12- 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 4:Chứng minh rằng phương trình x5- 5x3+ 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x5- 5x3+ 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Ví dụ 5:Chứng minh rằng phương trình (m2- m + 3)x2n- 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m2- m + 3)x2n- 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6:Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3+ ax2+ bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập áp dụng

Bài 1.Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0.

Bài 2.CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3.CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Bài 4.CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 5.CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn

Bài 6.Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

(m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt

d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*

Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm:

a) m(x - 1)(x - 2) + 2x + 1 = 0

b) (m2 - 2m)x3 + 2x - 1 = 0

c) cosx + mcoss2x = 0

d) (1 - m2)(x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0

Bài 9.Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm

Để Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m trước tiên cùng tìm hiểu phương trình bậc 2 và những kiến thức liên quan trong chương trình toán học trung học cơ sở. Các bạn học sinh và quý thầy cô và phụ huynh cùng tham khảo nhé. 

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.(1)

Nhiệm vụ là phải giải phương trình trên để đi tìm giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0. 

2. Cách giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2 như sau:

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Khi:

• Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
• Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

3. Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 

Cho phương trình bậc 2:  ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức trên ta có thể tính biểu thức đối xứng x1,x2 thông qua định lý Viet.

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2 

Định lý Viet đảo giả sử như  tồn tại 2 số thực x1, x2 thỏa mãn x1+x2=S, x1x2=P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

4. Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải phương trình bậc 2

4.1. Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh

Ta có cách tính nhanh nghiệm của phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 (a≠0) như sau:

• Nếu a+b+c=0 thì nghiệm x1 = 1, x2 = c/a
• Nếu a-b+c=0 thì nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a

4.2. Phân tích đa thức thành nhân tử

Cho đa thức P(x)=ax2+bx+c 

• Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 
• Thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)

4.3. Xác định dấu của các nghiệm

Cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), 

Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên. Theo định lý Viet, ta có:

• Nếu S<0, x1 trái dấu x2 .
• Nếu S>0, x1 cùng dấu x2
• P>0,  cả hai nghiệm cùng dương.
• P<0, cả hai nghiệm cùng âm.

5. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 

5.1. Dạng bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải bài tập dạng này cách phổ biến nhất là dùng công thức Δ hoặc Δ’ sau đó áp dụng điều kiện và công thức như đã nêu ở mục 2. để giải.

Ví dụ: Giải các phương trình  x2-3x+2=0 (*)

• ta có: Δ=(-3)2-4.2=1 
• suy ra nghiệm của phương trình là:

5.2. Phương trình khuyết hạng tử.

5.2.1. Khuyết hạng tử bậc nhất ax2+c=0 (1)

Cách giải:

• Nếu -c/a=0, có nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

5.2.2. Khuyết hạng tử tự do ax2+bx=0 (2)

Ví dụ 2:  Giải phương trình x2-4=0

ta có:

x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2

5.3. Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0)

Cách giải:

• Đặt t=x2 (t≥0).
• Phương trình đã cho có  dạng: at2+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, điều kiện t≥0

5.3.Dạng Phương trình bậc 2 có tham số

Phương pháp giải biện luận số nghiệm của phương trình ta sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx2-5x-m-5=0 (1)

Cách giải:

• Xét m=0, lúc này (1) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1
• Xét m≠0, lúc này (1) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• Δ= (-5)^2 -4m(-m-5) = (2m+5)^2
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
• Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
• Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài trước tiên phương trình bậc 2 cần có nghiệm. Các bước giải như sau:

• Tính Δ, sau đó tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được cách tính các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận nghiệm theo yêu cầu của đề bài.

Ví dụ: Cho pt x^2 – (m-2)x +m-4=0 (x ẩn ; m tham số )

1. a) chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Xét Δ = (m- 2)^2- 4*(m- 4)= m^2- 4m+ 4- 4m+ 16= m^2- 8m+ 20= (m- 4)^2+ 4>= 4

Δ >= 4> 0 với mọi m => pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

1. b)  Tìm giá trị của m để phương trình có 2 ng đối nhau

• phương trình có hai nghiệm đối nhau khi <=> x1+ x2= 0 <=> m- 2= 0 =>m=2
• Vậy với m= 2 phương trình có 2 nghiệm đối nhau

Ví dụ: Cho phương trình x^2-2mx+4m-4=0.

1. a) chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
2. b) Goi x1và x2 là hai nghiệm của phương trình. tìm m để 3x1x2+5 =x1^2-x2^2

Cách giải

• Δ’= m^2 – (4m-4) = m^2-4m+4 = (m-2)^2 ≥ 0
• ⇔ phương trình luôn có nghiệm với mọi m thuộc R

x1+x2 = 2m (*)

x1x2=4m-4 (*)

⇔ 3x1x2 + 5= -x1^2 – x2^2 ⇔ 3x1x2 + 5 = -(x1+x2)^2 + 2x1x2

⇔ (x1+x2)^2 + x1x2 + 5=0 (**)

ta thay phương trình (*) và phương trình (**)  sẽ ra phương trình bậc 2 ẩn m và giải như bình thường.

Kết luận

Trên đây là tổng hợp những kiến thức cơ bản của phương trình bậc 2 và phương pháp chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Mong rằng những thông tin trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo trong học tập và giảng dạy. 

Tags: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m