Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Show
Quảng cáo
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Định lý 1: Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lý 2.Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.  Xét đường tròn (O): \(\begin{array}{l}OH \bot AB\left( {H \in AB} \right)\\OK \bot CD\left( {K \in CD} \right)\end{array}\) Khi đó: \(\begin{array}{l}AB = CD \Leftrightarrow OH = OK\\AB > CD \Leftrightarrow OH < OK\end{array}\) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP So sánh hai đoạn thẳng Phương pháp: Ta thường sử dụng các kiến thức sau: - Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. - Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn, - Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
Bài tiếp theo
Quảng cáo
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay Báo lỗi - Góp ý
|
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Xem lời giải
Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Bản để in
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Mục lục 1. Định lí 1 [edit] 2. Định lí 2 [edit] Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b)Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Cho đường tròn \((O) \) có hai dây \(AB\) và \(CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Chứng minh: a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\) b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\) Chứng minh:Định lí 1 [edit]
Ta có \(\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\) (Đường kính vuông góc với dây cung) \((1)\)
Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \(OHB\) và \(OKD,\) ta có:
\(\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\) \((2)\)
a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\)
Theo giả thiết: \(AB=CD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\)
Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\)
Theo giả thiết: \(OH=OK.\)
\(\Rightarrow OH^2=OK^2.\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2=KD^2.\)
\(\Rightarrow HB=KD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB=CD.\)
Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.\(\square\)
Ví dụ 1:
Cho đường tròn \((O);\) đường kính \(AB,\) hai dây \(AC\) và \(BD\) song song với nhau. Gọi \(d_1;\ d_2\) lần lượt là khoảng cách từ \(O\) đến \(AC,\ BD.\) So sánh \(d_1\) và \(d_2.\)
Phân tích:
Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh.
Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Tìm mối quan hệ giữa hai dây \(AC\) và \(BD\)
Giải:
Ta có: \(C \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\)
\(\Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C.\)
\(\Rightarrow AC \bot BC.\)
Ta lại có: \(D \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\)
\(\Rightarrow \Delta ADB\) vuông tại \(D.\)
\(\Rightarrow BD \bot AD.\)
Mà \(AC // BD \Rightarrow AD // BC.\)
Khi đó, tứ giác \(ACBD\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow AC=BD\) (Tính chất hình bình hành)
\(\Rightarrow d_1 = d_2.\) (Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)\(\square\)
Ví dụ 2:
Cho hình vẽ:
Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn?
GiảiVì hai điểm \(I,\ J\) cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \(OI = OJ.\)
Mà trong đường tròn lớn có \(OI,\ OJ\) là khoảng cách từ tâm tới hai dây \(GH;\ MN\)
\(\Rightarrow GH=MN.\) (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)\(\square\)
Định lí 2 [edit]
Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Cho \((O), \) hai dây \(AB,\ CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Khi đó:
a) Nếu \(AB<CD\) thì \(OH>OK.\)
b)Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\)
Chứng minh:
a) Nếu\(AB>CD\) thì \(OH<OK.\)
Theo giả thiết: \(AB>CD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2<OK^2\Rightarrow OH<OK.\)
Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Nếu \(OH<OK\) thì \(AB>CD.\)
Theo giả thiết: \(OH<OK\Rightarrow OH^2<OK^2.\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2>KD^2.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB^2>CD^2\Rightarrow AB>CD.\)
Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.\(\square\)
Ví dụ 3:
Cho \((O),\) hai dây \(AB,\ CD\) không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm đến dây \(AB, CD\)lần lượt là \(4cm,\ 3cm.\) So sánh độ dài hai dây \(AB\) và \(CD.\)
Giải
Từ \(O\) kẻ \(OI \bot AB\ ( I \in AB);\ OK \bot CD\ (K \in CD).\)
\(\Rightarrow OK=3cm;\ OI=4cm.\)
Mà \(OK<OI\ (3cm<4cm)\)
\(\Rightarrow CD>AB.\) (Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn)\(\square\)
Ví dụ 4:
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Gọi \(M,\ N,\ P\) lần lượt là hình chiếu của tâm \(O\) lên \(AC,\ AB,\ BC.\) So sánh ba đoạn thẳng \(OM,\ ON,\ OP\) nếu \(AB = 5cm;\ AC = 7cm\) và \(BC = 11cm.\)
Giải
Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\)
\(\Rightarrow AB,\ AC,\ BC\) là ba dây cung của đường tròn.
Ta có: \(BC>AC\ (11cm>7cm)\)
\(\Rightarrow OP<OM.\)(Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn) \((1)\)
Lại có: \(AC>AB\ (7cm>5cm)\)
\(\Rightarrow OM<ON.\) (Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) \(\Rightarrow OP<OM<ON.\) \(\square\)
◄ Link vào học
Chuyển tới... Chuyển tới... Diễn đàn Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Luyện tập: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Luyện tập: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Thực hành: Nhận biết các tỷ số lượng giác góc nhọn Lý thuyết: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Luyện tập: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Lý thuyết: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Luyện tập: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Lý thuyết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài kiểm tra: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán thực tế Chương 1 Link vào học Lý thuyết: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Luyện tập: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Lý thuyết: Đường kính và dây của đường tròn Luyện tập: Đường kính và dây của đường tròn Link vào học Luyện tập: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Lý thuyết: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Luyện tập: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Lý thuyết: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Luyện tập: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Lý thuyết: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Đường tròn Bài kiểm tra: Đường tròn Tài liệu ôn tập Link vào học Lý thuyết: Góc ở tâm. Số đo cung Luyện tập: Góc ở tâm. Số đo cung Lý thuyết: Liên hệ giữa cung và dây Luyện tập: Liên hệ giữa cung và dây Lý thuyết: Góc nội tiếp Thực hành: Góc nội tiếp Luyện tập: Góc nội tiếp Lý thuyết: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Thực hành: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Luyện tập: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Lý thuyết: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Thực hành: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Luyện tập: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Lý thuyết: Tứ giác nội tiếp Thực hành: Nhận xét tính chất của tứ giác nội tiếp Luyện tập: Tứ giác nội tiếp Lý thuyết: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Luyện tập: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Lý thuyết: Độ dài đường tròn, cung tròn Minh họa độ dài đường tròn Luyện tập: Độ dài đường tròn, cung tròn Lý thuyết: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Minh họa cách tính diện tích Hình tròn Luyện tập: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Lý thuyết: Góc với đường tròn Bài kiểm tra: Góc với đường tròn Bài kiểm tra 45 phút Lý thuyết: Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Luyện tập: Hình trụ Lý thuyết: Hình nón - Hình nón cụt Luyện tập: Hình nón - Hình nón cụt Lý thuyết: Hình cầu Luyện tập: Hình cầu Toán thực tế chương 4 Lý thuyết: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Bài kiểm tra: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Luyện tập: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây ►
Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Xuất bản ngày 20/11/2019
Tổng hợp kiến thức cơ bản về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây một cách đầy đủ nhất, bao gồm các công thức, quy tắc cần nắm và cách làm các dạng toán thường gặp thuộc phần kiến thức này.
Mục lục nội dung
- 1. Lý thuyết
- 2. Các dạng toán thường gặp
Mục lục bài viết
Bạn đang tìm kiếm tài liệu tổng hợp kiến thức về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây? Hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây của Đọc tài liệu với những lý thuyếtliên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây cùng tổng hợp các dạng toán cơ bản thường gặp. Đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho học sinh và đồng thời giúp các thầy cô có thêm tài liệu hay phục vụ việc dạy học.
Cùng tham khảo nhé!
I. Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Ví dụ: Cho đường tròn (O) với hai dây AB, CD
+
+
II.Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan.
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
+) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+) Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các kiến thức sau:
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề toán hình 9 chương 2 bài 3 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
********************
Hy vọng với hệ thống kiến thức lý thuyếtliên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dâytrên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!
I. Lý thuyết về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
1. Các định lý về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong kiến thức toán 9 bài liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây có 2 định lý sau:
Định lý 1: Đối với 1 đường tròn:
- 2 dây bằng nhau thì sẽ cách đều tâm.
- 2 dây cách đều với tâm thì sẽ bằng nhau.
Định lý 2: Trong 1 đường tròn, 2 dây của đường tròn sẽ:
- Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó sẽ gần tâm hơn.
- Dây nào gần với tâm hơn thì dây đó sẽ lớn hơn.
Các định lý về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Ví dụ minh họa:
Xét đường tròn tâm O, bán kính R (O,R) có 2 dây AB và CD
- OH ⊥ AB tại điểm H (H ∈ AB)
- OK ⊥ CD tại điểm K (K ∈ CD)
Khi đó ta có:
- AB = CD ⇔ OH = OK
- AB > CD ⇔ OH < OK
>> Xem thêm: Đường kính và dây của đường tròn
2. Các dạng bài tập về kiến thức này
Trong chương trình toán 9 liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng giúp các em dễ dàng giải được những bài toán liên quan đến hình học không gian sau này. Đối với bài giảng về kiến thức này sẽ có những mẹo và các dạng bài tập cơ bản sau giúp các em dễ dàng hệ thống hóa lại kiến thức cũng như ôn thi được hiệu quả nhất có thể.
Dạng 1: Tính toán độ dài của đoạn thẳng và những yếu tố liên quan.
Cách thức giải:
Một trong những dạng toán quan trọng trong bài giảng này là tính toán độ dài của đoạn thẳng và những yếu tố liên quan giữa dây cũng như khoảng cách từ tâm đến dây. Để giải được dạng toán này, thông thường sẽ sử dụng những kiến thức cơ bản sau.
Quan hệ vuông góc của đường kính và dây:
- Nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó.
- Nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây và không đi qua tâm trong 1 đường tròn thì vuông góc với dây đó.
Áp dụng định lý Pitago về hệ thức lượng của tam giác vuông:
- Cho tam giác ΔABC vuông tại A. Ta có: AB² + AC² = BC²
Dạng toán tính độ dài của đoạn thẳng và những yếu tố liên quan
Dạng 2: So sánh giữa hai đoạn thẳng
Cách thức giải:
Đối với bài giảng về dạng kiến thức này, so sánh giữa hai đoạn thẳng là một trong những dạng toán cơ bản, đặc biệt là thường bắt gặp trong những bài kiểm tra. Thông thường đối với dạng toán này, để có thể giải cần áp dụng những kiến thức cơ bản sau:
Đối với 1 đường tròn:
- 2 dây bằng nhau thì sẽ cách đều tâm.
- 2 dây cách đều với tâm thì sẽ bằng nhau.
Trong 1 đường tròn, 2 dây của đường tròn sẽ:
- Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó sẽ gần tâm hơn.
- Dây nào gần với tâm hơn thì dây đó sẽ lớn hơn.
Chứng minh 2 tam giác bằng nhau và áp dụng quan hệ giữa những yếu tố trong tam giác như: Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, trường hợp cạnh – góc – cạnh, hay trường hợp góc – cạnh – góc.
Dạng toán so sánh giữa hai đoạn thẳng
