Phương trình cosx có nghiệm khi

12:47:2821/07/2021

Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?

• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

1. Phương trình sinx = a (1)

- Nếu |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

 Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

 Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết:

 α = arcsina.

 Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, k ∈ Z

 và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó sinx = 1 

° a = -1 khi đó sinx = -1

° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

° Đặc biệt nếu:

 +)

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = 1/3;

b) sin(x + 45o) = (-√2)/2.

> Lời giải:

a) sin⁡x = 1/3

⇔ x = arcsin(1/3).

- Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là:

 x = arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

b) sin(x + 45o) = -(√2)/2.

- Vì: (-√2)/2 = sin⁡(-45o) nên

 sin⁡(x + 45o) = (-√2)/2

⇔ sin⁡(x+45o) = sin⁡(-45o)

⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z

 và x + 45o = 180o - (-45o) + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z

 và x = 180o - (-45o ) - 45o + k360o,k ∈ Z

Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z

2. Phương trình cosx = a (2)

- Nếu |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

 Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, k ∈ Z

 và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết:

 α = arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = arccosa + k2π, k ∈ Z

 và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z

° a = -1 khi đó cosx = -1 

° a = 0 khi đó cosx = 0 

° Đặc biệt nếu:

 +) 

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx = (-1)/2;

b) cosx = 2/3;

c) cos(x + 30o) = √3/2.

> Lời giải:

a) cosx = (-1)/2;

- Vì (-1)/2 = cos(2π/3) nên cosx = (-1)/2

⇔ cosx = cos(2π/3)

⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z

b)cos ⁡x = 2/3

⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

c) cos(x + 30o) = √3/2.

- Vì (√3)/2 = cos30o nên cos⁡(x + 30o)= (√3)/2

⇔ cos⁡(x + 30o) = cos30o

⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z

3. Phương trình tanx = a (3)

- Điều kiện:

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết:

 α = arctana.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a) tanx = 1;      b) tanx = -1;      c) tanx = 0.

> Lời giải:

a) tan⁡x = 1 ⇔ tanx = tan⁡(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b) tanx = -1 ⇔ tan⁡x = tan⁡(-π/4) ⇔ x =(-π/4) + kπ, k ∈ Z

c) tan⁡x = 0 ⇔ tan⁡x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

4. Phương trình cotx = a (4)

- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết:

 α = arccota.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

> Lời giải:

a)cot⁡x = 1 ⇔ cot⁡x = cot(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b)cot⁡x = -1 ⇔ cot⁡x = cot⁡(-π/4) ⇔ x = (-π/4) + kπ,k ∈ Z

c)cot⁡x = 0 ⇔ cot⁡x = cot⁡(π/2) ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z

> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải, hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.

trong: Toán học, Toán học lớp 11, Đại số

Xem mã nguồn

• m
  
  [-1;1] => phương trình vô nghiệm
• m ∈ [-1;1] thì:

• sinx=sinα (α = SHIFT sin)

• Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:

• x = arcsinm + k2.pi (arc = SHIFT sin)
• x = pi - arcsinm + k2.pi

• sinx = 1 <=> x=
  
• sinx = -1 <=> x=
  
• sinx = 0 <=> x=k.pi

• m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
• m ∈ [-1;1] thì:

• cosx=cosα (α = SHIFT sin)

• Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:

• x = ±arccosm + k2.pi (arc = SHIFT cos)

• cosx = 1 <=> x=
  
• cosx = -1 <=> x=
  
• cosx = 0 <=> x=

• tanx=tanα (α = SHIFT tan)

<=> x = α + k.pi (α: rad, k∈Z)

<=> x = a + k.360° (α: độ°, k∈Z)

• Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì

cotx=m

• cotx=cotα (α = SHIFT tan(1/m))

<=> x = α + k.pi (α: rad, k∈Z)

<=> x = a + k.360° (α: độ°, k∈Z)

• Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì

Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:

Một số dạng toán

Biến đổi

• sinf(x) = -sing(x) = sin(-g(x))
• sinf(x) = cosg(x) → sinf(x) = sin(pi/2 - g(x))
• sinf(x) = -cosg(x) → cosg(x) = -sinf(x) = sin(-f(x)) → cosg(x) = cos(pi/2 - f(x))
• Khi có
  
  , ta thường "hạ bậc tăng cung".

Tìm nghiệm và số nghiệm

1) Giải phương trình A với x ∈ a.

• Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
• Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.

2) Tìm số nghiệm k

• Các bước tương tự như trên.
• Tìm được k → số nghiệm.

Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất

1) Với nghiệm âm lớn nhất

• Xét x < 0 (k ∈ Z)
• Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.

2) Với nghiệm dương nhỏ nhất

• Xét x > 0 (k ∈ Z)
• Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.

Tìm tập giá trị

Tìm tập giá trị của phương trình A.

• Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
• Đặt phương trình lượng giác (sin, cos...) = t (nếu có điều kiện)
• Tìm đỉnh I (-b/2a; -Δ/4a)
• Vẽ bảng xét giả trị (hình minh họa): (pt âm → mũi trên đi ↑ rồi ↓ và ngược lại)

• Tìm miền giá trị tại hai điểm thuộc t (thay 2 giá trị đó vào t) rồi rút ra kết luận.
• Chú ý: Asinx + Bcosx = C

≥