Định nghĩa đường trọn ngoại tiếpĐường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác là đường tròn ngoại tiếp của đa giác đó. Và đa giác đó gọi là đa giác nội tiếp đường tròn Show
Ví dụ: đường tròn tâm I là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.  Định nghĩa đường tròn nội tiếpĐường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác đó được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. Ví dụ: Đường tròn tâmI nội tiếp trong tam giác ABC. Tính chất đường tròn nội tiếpBất kỳ một đa giác đều nào cũng có 1 và chỉ một đường tròn nội tiếp và chỉ có 1 và chỉ một đường tròn ngoại tiếp. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giácTâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác. Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em phương pháp, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác qua các khái niệm.Để không bị nhầm lẫn và hiểu rõ hơn về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác thì các em cần tìm hiểu qua các khái niệm. 1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác– Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC – Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn. Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC 2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giácĐể xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:
I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCĐường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH). II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó (hoặc có thể là 2 đường phân giác) do vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác. Ví dụ: Đường tròn (O, R) nội tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác. Ngoài ra đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tích chất của tam giác đều. Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác. III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCTâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó (hoặc có thể là 2 đường phân giác). Ngoài ra khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Cách 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp △ABC đã cho là I(x, y); M, N, P là chân đường phân giác trong của △ABC kẻ lần lượt từ A,B,CBước 1: Tính độ dài các cạnh của △ABC. Bước 2: Tính tỉ số \(k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}\). Bước 3: Tìm tọa độ các điểm M, N, P dựa trên tỷ số vừa tìm được qua tính chất đường phân giác trong tam giác. Bước 4: Viết phương trình 2 đường thẳng AM, BN. Bước 5: Giao điểm của đường thẳng AM, BN trên chính là tâm của đường tròn nội tiếp △ABC I(x, y). Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp △ABC cần tìm. Cách 2: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp △ABC đã cho là I(x, y):Bước 1: Tính độ dài các cạnh của △ABC. Bước 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I(x, y) như sau: \(\begin{cases} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} \\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{cases}\). Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác cần tìm. III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho △ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm của đường tròn nội tiếp △ABC .Lời giải tham khảo: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp △ABC đã cho là I(x, y). Ta có: \(AB= \sqrt{(1+4)^2 + (5+5)^2}=5\sqrt{5}\) \(AC= \sqrt{(1-4)^2 + (5+1)^2}=3\sqrt{5}\) \(BC= \sqrt{(4+4)^2 + (-5+1)^2}=4\sqrt{5}\) Tâm I(x, y) của đường tròn nội tiếp △ABC là: \(\begin{cases} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.1 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.4}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.5 + 3\sqrt{5}.(-5)+5\sqrt{5}.(-1)}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{cases}\) Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp △ABC đã cho là I(1;0). |
