Toán 11 bài 1 phương pháp quy nạp

Nội dung chính Show

B. Bài tập và hướng dẫn giải
Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk

Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n Є N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Chú ý:

Nếu phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:

Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n Є N*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = $ \frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$;

c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = $ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1;

b) 2n + 1 > 2n + 3

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 83 - sgk đại số và giải tích 11

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$

=> Xem hướng dẫn giải

Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức $P(n) = Q(n)$ (hoặc $P(n) > Q(n)$) đúng với $\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}$ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính $P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})$ rồi chứng minh $P({n_0}) = Q({n_0})$

Bước 2: Giả sử $P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}$, ta cần chứng minh

$P(k + 1) = Q(k + 1)$.

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng $\forall n \in {{\rm N}^*}$ ta luôn có đẳng thức sau:

$1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}$

Hướng dẫn:

Đặt ${A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,$

Với n=1, ta có: $1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1$ (đúng)

Giả sử với $n = k \ge 1$ ta có:

${A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,$ (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: ${A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}$

Ta có: ${A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)$

$\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}$ ( điều phải chứng minh).

Vậy $1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}$ $\forall n \in {{\rm N}^*}$.

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng $\forall n \in {{\rm N}^*}$ ta luôn có đẳng thức sau:

$1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}$

Hướng dẫn:

Đặt ${A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}$

Với n= 1: ${(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1$ (đúng)

Giả sử với $n = k \ge 1$ ta có:

$1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}$ (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh:

${A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,$

Ta có: $VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}$

Theo giả thiết quy nạp ở trên: $VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}$

= $\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}$ $= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}$

$= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}$ $= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}$

$VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}$ (1)

Ta lại có: ${\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,$

$= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,$

$= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,$

${\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,$ (2)

Từ (1) và (2): ${A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,$

Vậy $1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}$ $\forall n \in {{\rm N}^*}$.

Ví dụ 3:

Chứng mình với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

Lời giải:

Đặt $P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$ : tổng n số tự nhiên đầu tiên : $Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

Ta cần chứng minh $P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1$.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1$

$ \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)$ đúng với $n = 1$.

Bước 2: Giả sử $P(k) = Q(k)$ với $k \in \mathbb{N},k \ge 1$ tức là:

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh $P(k + 1) = Q(k + 1)$, tức là:

$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ (2)

Thật vậy: $VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)$

$ = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)$ (Do đẳng thức (1))

$ = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)$

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi $n \ge 1$.

Ví dụ 4:

Chứng minh với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}$

Lời giải:

$ \bullet $ Với $n = 1$ ta có ${\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1$

Suy ra $VT = VP \Rightarrow $ đẳng thức cho đúng với $n = 1$.

$ \bullet $ Giả sử đẳng thức cho đúng với $n = k$ với $k \in \mathbb{N},k \ge 1$ tức là:

$1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}$ (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với $n = k + 1$, tức là:

$1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}$ (2)

Thật vậy: $VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)$

$ = {k^2} + (2k + 1)$ (Do đẳng thức (1))

$ = {(k + 1)^2} = VP(1.2)$

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi $n \ge 1$.

Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Ví dụ 5:

Chứng minh rằng $\forall n \in {{\rm N}^*}$ :

${n^3} + 2n$ chia hết cho 3.

Hướng dẫn:

Đặt ${A_n} = {n^3} + 2n$

Với n= 1: ${A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3$

Giả sử với $n = k \ge 1$ ta có:

${A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3$ (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh:

${A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3$

Ta có: ${A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2$

$= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)$

Theo giả thiết quy nạp: ${n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3$

Đồng thời: $3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3$

Vậy ${A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3$

Kết luận: ${n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3$ $\forall n \in {{\rm N}^*}$

Ví dụ 6:

Cho $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ${a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225$

Hướng dẫn:

$ \bullet $ Với $n = 1$ ta có: ${a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225$.

$ \bullet $ Giả sử ${a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225$, ta chứng minh

${a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225$

Thậ vậy: ${a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)$

$ = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)$

Vì ${16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15$ và ${a_k} \vdots 225$

Nên ta suy ra ${a_{k + 1}} \vdots 225$. Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 7:

Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi $(n \ge 3)$ bằng $(n - 2){180^0}$.

Lời giải:

$ \bullet $ Với $n = 3$ ta có tổng ba góc trong tam giác bằng ${180^0}$

$ \bullet $ Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với $k < n$, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là $\left( {k - 1} \right){180^0}$ và $\left( {n - k - 1} \right){180^0}$.

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là $(k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}$

Suy ra mệnh đề đúng với mọi $n \ge 3$.