+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}} \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x\left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {x - \dfrac{9}{x}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{x - \dfrac{9}{x}}}\) Video hướng dẫn giải
Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)có đồ thị như trên hình 53.  LG a Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x -\), \(x 3^-\) và \(x -3^+\) Phương pháp giải: Quan sát đồ thị hàm số. Lời giải chi tiết: Quan sát đồ thị ta thấy \(x -\) thì \(f(x) 0\); khi \(x 3^-\)thì \(f(x) -\); khi \(x -3^+\)thì \(f(x) +\). LG b Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau: \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\), \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\), \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\). Phương pháp giải: Tính các giới hạn, sử dụng quy tắc tính giới hạn được học và kết luận. Lời giải chi tiết: +)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}} \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x\left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {x - \dfrac{9}{x}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{x - \dfrac{9}{x}}}\) Mà\({\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right) = 1}\) và\({\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \dfrac{9}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {1 - \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right)} \right] = - \infty }\) nên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)\)\(=0\) +)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}\) Vì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3 + 2 = 5 > 0\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0\);\({x^2} - 9 < 0\) khi \(x<3\) nên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)=-\infty \). +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}\) Vì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {x + 2} \right) = -3 + 2 = -1 < 0\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0\);\({x^2} - 9 < 0\) khi \(x>-3\) nên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right)=+\infty \). Cách khác: \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)=\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\)\(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}} = 0\). \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)=\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{1}{x-3} = - \) vì\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x+3}\)=\(\dfrac{5}{6} > 0\) và\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \dfrac{1}{x-3} = -\). \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)=\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x-3}\).\(\dfrac{1}{x+3} = +\) vì\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x-3}\)=\(\dfrac{-1}{-6}\)=\(\dfrac{1}{6} > 0\) và\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\)\(\dfrac{1}{x+3} =+\).
|
