Hôm nay chúng ta sẽ học về phép quy nạp toán học. Thông thường, chúng ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh một phát biểu nào đó đúng với mọi số tự nhiên. Show Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp hay và rất hữu dụng. Tuy nhiên, đối với học sinh khối 11 thì đây là nội dung khó hiểu và khó áp dụng. Bài viết này của tôi sẽ giúp các bạn một hướng để hiểu hơn về phương pháp này. Để tiện cho việc diễn đạt, chúng ta sẽ gọi P(n) là một phát biểu nào đó liên quan đến biến số tự nhiên n. Chứng minh bằng quy nạp sẽ gồm các bước sau. Bước 1: gọi là bước khởi điểm. Chúng ta sẽ chứng minh P(n) đúng cho trường hợp đầu tiên là n=0. Bước 2: gọi là bước quy nạp. Bước này là bước quan trọng nhất. Ở bước này,
Từ hai bước này, theo nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta sẽ kết luận rằng P(n) sẽ đúng với mọi số tự nhiên n. Bây giờ chúng ta sẽ dùng quy nạp để giải bài toán đầu tiên. Bài toán 1. Chứng minh rằng 1+3+5+7+⋯+(2n+1)=(n+1)2. Lời giải. Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số n công thức sau 1+3+5+7+⋯+(2n+1)=(n+1)2. Bước 1. Với n=0, chúng ta có 1=(0+1)2 Như vậy công thức ở trên đúng cho trường hợp n=0. Bước 2. Giả sử công thức đúng cho các trường hợp 0≤n≤k. Chúng ta sẽ chứng minh rằng công thức trên cũng đúng cho trường hợp n=k+1, có nghĩa là chúng ta sẽ chứng minh 1+3+5+7+⋯+(2k+1)+(2k+3)=(k+2)2. Thực vậy, theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp n=k, do đó sẽ tồn tại một đa thức Pk(x) thõa mãn Pk(x1)=y1,Pk(x2)=y2,…,Pk(xk)=yk Tài liệu gồm 10 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương pháp quy nạp toán học, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANVới \(n \in N*\), ta xét các mệnh đề: P: \(''{7^n} + 5\) chia hết cho 2”; Q: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 3” và R: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6. Lời giải chi tiết: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6. Thật vậy, với n = 1 ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\) Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho 6. Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho 6. Do đó mệnh đề đúng với n = k + 1. Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho 6 với mọi \(n \in N*\). Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng. Chọn A. Đáp án - Lời giải Phương pháp quy nạp toán học là một quy tắc suy luận được sử dụng trong chứng minh các bệnh đề về bất kỳ một tập hợp nào đó được sắp xếp theo thứ tự. Vậy phương pháp quy nạp toán học được áp dụng giải các dạng bài tập nào? Cùng tìm hiểu trong bài viết ngày hôm nay của VUIHOC nhé! 1. Phương pháp quy nạp toán học là gì?- Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp chứng minh mệnh đề về bất kỳ môt tập hợp nào được sắp xếp theo thứ tự. Phương pháp này thường dùng để chứng minh các mệnh đề áp dụng cho tập hợp các số tự nhiên. - Phương pháp quy nạp toán học là hình thức chứng minh trực tiếp, bao gồm 2 bước: + Bước 1: Được gọi là bước cơ sở khi chứng minh mệnh đề đúng cho tập số tự nhiên, đây là bước chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên. + Bước 2: Được gọi là bước quy nạp, đây là bước chứng minh mệnh đề giả định đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ. \=> Sau khi chứng minh xong 2 bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề này là đúng với mọi số tự nhiên. \>> Mời bạn tham khảo: Tổng hợp kiến thức toán 11 2. Áp dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề- Để chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp từng số được thì ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 + Bước 2: Giả thiết mệnh đề đó đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k (K 1) + Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 - Tổng quát: Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n. Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên với no cho trước, ta thực hiện các bước như sau: + Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = no + Bước 2: Giả sử n no đúng khi n = k ( k no) + Bước 3: Chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1 \=> Theo nguyên lý quy nạp P(n) đúng với mọi n no Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!  3. Các dạng bài tập áp dụng phương pháp quy nạp toán học3.1 Dạng bài chứng minh đẳng thức - bất đẳng thứcVí dụ 1: Chứng minh 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n2 (1) với n N* Lời giải: - Khi n = 1 ta có mệnh đề (1): 1 = 12 = 1 ( luôn đúng) - Giả sử mệnh đề (1) đúng khi n = k (k 1), ta phải chứng minh được: Sk+1 = 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + 2[2(k + 1) - 1] = (k + 1)2 \=> Sk+1 = Sk + [2(k + 1) - 1] = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 Vậy mệnh đề 1 luôn đúng với mọi n N* Ví dụ 2: Chứng minh 2n > 2n + 1(1) luôn đúng với mọi số tự nhiên n 3 Lời giải: - Khi n = 3 ta có 23 = 8 > 2.3 +1 = 7 - Giả sử (1) đúng với n = k 3 ( k N) => 2k > 2k + 1 (2) \=> Ta cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1 \=> 2k+1 > 2(k + 1) + 1 = 2k+1 > 2k + 3 - Nhân cả 2 vế của (2) với 2 ta có: 2.2k > 2k + 2k + 2 2k+1 > 2k + 2k + 2 (3) Vì k 3 nên 2k 6. Do đó (3) 2k+1 > 2k + 6 + 2 => 2k+1 > 2k + 3 \=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi toán THPT Quốc Gia 3.2 Dạng bài toán chia hếtVí dụ 1: Chứng minh un = n3 + 3n2 + 5n 3 (1) với mọi n N* và n 1 Lời giải: - Với n = 1 ta có u1 = 13 + 3.12 + 5.1 = 9 3 => Mệnh đề đúng với n = 1 - Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k 1, k N => uk = k3 + 3k2 + 5k 3 - Ta cần chứng minh: uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) 3 \=> uk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) \= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3(k + 1)2 + 5k + 5 \= (k3 + 3k2 + 5k) + 3(k + 1)2 + 3k + 6 Vì k3 + 3k2 + 5k 3 ; 3(k + 1)2 3 ; 3k 3 và 6 3 => uk+1 3 \=> (1) luôn đúng với n = k +1 => Điều cần chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh un = n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n nguyên dương Lời giải: PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! Thông qua những thông tin trong bài viết, hy vọng các em có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến phương pháp quy nạp toán học trong chương trình toán 11 để áp dụng giải các dạng bài chứng minh mệnh đề chính xác nhất. Để học thêm nhiều bài giảng bổ ích và thú vị khác về môn toán hay các môn học khác, các em hãy truy cập ngay trang web vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và bắt đầu quá trình học tập của mình nhé! |
