Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng được GiaiToan biên soạn bao gồm đáp án chi tiết giúp học sinh luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để củng cố kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi Toán 9 và ôn thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết! Show 1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trìnhBước 1: Lập hệ phương trình: + Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có). + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình. Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận. Nhận xét: Đối với bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung - làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1: + Năng suất công việc = 1/ thời gian + Năng suất chung = Tổng năng suất riêng 2. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trìnhVí dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc. Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi a, b lần lượt là số phần công việc mà đội I và đội II làm được trong 1h Vì 2 đội cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 24h nên trong 1h cả 2 đội làm được công việc, do đó ta có phương trình: (1) Trong 10h, đội I làm được 10a phần công việc, trong 15h đội II làm được 15b phần công việc. Vì khi đó cả 2 đội làm được công việc nên ta có phương trình: (2) Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:  Vậy đội I làm trong 40h thì xong công việc, đội II làm trong 60h thì xong công việc. Cách 2: Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian đội I và đội II làm một mình để hoàn thành công việc. (x, y>0) Trong 1 giờ, đội I làm được (công việc) Đội II làm được (công việc) Cả hai đội làm được (công việc) Do đó ta có phương trình: (1) Trong 10 giờ, đội I làm được công việc, trong 15h đội II làm được công việc. Vì khi đó cả 2 đội làm được công việc nên ta có phương trình: (2) Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình: (tm) Vậy đội I làm một mình trong 40 giờ thì xong công việc, đội II làm một mình trong 60 giờ thì xong công việc. Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc? Hướng dẫn giải Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày) Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0) Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là: (công việc) Một ngày người thứ hai làm được số công việc là: (công việc) Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình: (1) Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là: ) (công việc) Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày Ta có phương trình: %20%2B%20%5Cfrac%7B%7B15%7D%7D%7By%7D%20%3D%201) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: %20%2B%20%5Cdfrac%7B%7B15%7D%7D%7By%7D%20%3D%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%20%3D%2060%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7By%20%3D%2030%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%7D%20%5Cright.) Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày. Ví dụ 3: Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm công việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu lâu? Hướng dẫn giải Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ) (x > 6) Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ) (y > 6) Mỗi giờ tổ một làm được (công việc) Mỗi giờ tổ hai làm được (công việc) Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: (1) Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong 10 + 2 = 12 giờ. Khi đó ta có phương trình: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ) Vậy nếu làm riêng công việc thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ. Ví dụ 4: Trong thời gian nghỉ vì dịch COVID - 19, lớp 9A chia làm hai đội thi làm đề ôn tập. Tháng thứ nhất tổng số đề ôn tập hai đội làm được là 1 230 đề. Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 25% và đội II vượt mức 20% so với tháng đầu. Do đó, tháng thứ hai cả hai đội làm được 1 506 đề ôn tập. Hỏi mỗi đội làm được bao nhiêu đề ôn tập trong tháng nghỉ COVID - 19 tháng thứ nhất. Hướng dẫn giải Gọi số đề cương đội I và đội II làm được trong tháng thứ nhất lần lượt là x và y (đề cương) (điều kiện x, y > 0) Vì trong tháng thứ nhất hai đội làm được 1 230 đề cương nên ta có phương trình: x + y = 1 230 (1) Tháng thứ hai: Đội 1 vượt mức 25% so với tháng đầu nên làm được: x + x . 25% = 1,25x (đề cương) Đội 2 vượt mức 20% so với tháng đầu nên làm được: y + y . 20% = 1,2y (đề cương) Do tháng thứ hai cả hai đội làm được 1 506 đề ôn tập nên ta có phương trình: 1,25x + 1,2y = 1 506 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: %20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D) Vậy tháng thứ nhất đội 1 làm được 600 đề cương, đội 2 làm được 630 đề cương. 3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêngBài 1: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Xem lời giải chi tiết Bài 2: Hai người thợ cùng làm xong một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm việc riêng thì mỗi người hoàn thành xong việc trong bao lâu? Xem lời giải chi tiết Bài 3: Hai tổ công nhân cùng làm chung trong 12 giờ hoàn thành công việc đã định. Nếu họ làm chung trong 4 giờ thì tổ thứ nhất điều đi làm việc khác. Tổ hai vẫn làm tiếp công việc còn lại trong 10 giờ thì xong. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc? Xem lời giải chi tiết Bài 4: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc đã định trong 12 ngày thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 bị điều đi làm việc khác. Đội 2 vẫn tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật nên năng suất tăng gấp đôi. Vì vậy đội 2 đã hoàn thành trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình trong bao lâu thì xong công việc với năng suất bình thường? Xem lời giải chi tiết Bài 5: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó. Xem lời giải chi tiết Bài 6: Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian? Xem lời giải chi tiết Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Trong dịp tết trồng cây vừa qua số cây của tổ 1 trồng nhiều hơn số cây của tổ 2 là 5 cây. Tìm số cây mỗi tổ đã trồng biết rằng tổng số cây của tổ 1 và 2 lần số cây của tổ 2 là 71 cây. Xem lời giải chi tiết Bài 8: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc? Xem lời giải chi tiết Bài 9: Hai người làm chung một công việc thì sau 15 giờ sẽ xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì cả hai người làm được công việc. Tính thời gian để mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc. Xem lời giải chi tiết Bài 10: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thức hai làm tiếp công việc đó trong 10 ngày nữa thì xong. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong công việc đó hết bao lâu thời gian? Xem lời giải chi tiết Bài 11: Để làm xong một công việc. Nếu nhân công A và B cùng làm thì mất 6 giờ. Nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút. Nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả 3 công nhân cùng làm thì bao lâu xong công việc? |
