Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x∈ (\(\dfrac{1}{2}\) ;8) thỏa mãn 92\(x^2\)+xy= (1+xy).915x Các câu hỏi tương tự
có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \(x\in\left(\dfrac{1}{3};5\right)\) thỏa mãn \(27^{3x^2+xy}=\left(1+xy\right)27^{15x}\) ? Các câu hỏi tương tự Câu hỏi: 47. Có bao nhiêu số nguyên \(y\)sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){.27^{9x}}\)? A. \(27\). B. \(9\). C. \(11\). D. \(12\). Lời giải +) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + xy = {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + 9x\) \(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 = {\log _{27}}t – t\), với \(t = 1 + xy > 0\). +) Xét hàm số \(\,f\left( x \right) = 3{x^2} – 9x – 1\). Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). +) Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _{27}}t – t,\,\,t > 0\). \(g’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 27}} – 1\); \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\ln 27}}\) Ta có \( – \frac{{31}}{4} \le f\left( x \right) < – 1\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). Suy ra \( – \frac{{31}}{4} \le g\left( t \right) < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \in \left( { \approx {{8,07.10}^{ – 12}}; \approx 0,04} \right)\\t \in \left( {1; \approx 8,4} \right)\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l} \approx {8,07.10^{ – 12}} < 1 + xy < \approx 0,04\\1 < 1 + xy < \approx 8,4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \approx \frac{{ – 1 + {{8,07.10}^{ – 12}}}}{x} < y < \approx \frac{{ – 1 + 0,04}}{x}\\0 < y < \approx \frac{{7,4}}{x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 < y < – \frac{1}{3}\\0 < y \le 22\end{array} \right.\), (\(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\), \(y\) nguyên). +) Nhận thấy \(y = – 2;y = – 1\) thỏa mãn đề. +) Với \(0 < y \le 22\), ta có \(\left( 1 \right)\)\(\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) = \)\(0\). Nhập hàm, thay các giá trị nguyên của y, kiểm tra nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) dẫn đến chọn \(1 \le y \le 9\). (Chú ý hàm số \(f\left( t \right) – t\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\) nên \(\forall y \ge 10\), ta có:\(\,3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) \le 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left( {1 + 10x} \right) + \left( {1 + 10x} \right) < 0\) \(\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\). Do đó loại \(y \ge 10\)). Vậy \(y \in \left\{ { – 2; – 1;1;2;…;9} \right\}\) nên có \(11\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn đề. =======Lời giải của GV Vungoi.vn * pt \( \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1\). \( \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}\), khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\) \( \Rightarrow y > - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). \( \Rightarrow \) Ta chặn được \(y > - 3\) => \(y \ge - 2\). * \(pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0\). Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.\). Nhận thấy ngay \(f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\), chỉ bằng 0 tại \(y = 0\). + Xét \(y = 0 \Rightarrow \) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\), loại vì không có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). + Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\). 1) Ta Table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\). \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 17 giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). 2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 16\) thì \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0\) và đồng biến. Ta đi chứng minh khi \(y \ge 16\) thì phương trình vô nghiệm. \(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)\). Ta có \(h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). \( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0\). \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\). Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của \(y\). |
